Examen Final Matemática para Economía 1 PUCP: Resolución de Integrales
¡Hola! Bienvenidos a una nueva entrega de ejercicios resueltos para estudiantes de la Pontificia Universidad Católica del Perú. Hoy abordaremos un problema clásico de cálculo integral del Examen Final del curso de Matemática para Economía y Finanzas 1.
Este ejercicio evalúa dos técnicas fundamentales de integración: el método de sustitución (o cambio de variable) y el método de integración por partes. Vamos a desglosarlo paso a paso.
Enunciado del Problema
1. Hallar
- a) (2 puntos) \( I = \int_{0}^{1} xe^{-x^2} dx \). (sug. integración por cambio de variable)
- b) (3 puntos) \( J = \int x^2 \ln(x) dx \). (sug. integración por partes)
Teoría Mínima Necesaria
Para la parte a): Integración por Sustitución
Este método se utiliza para simplificar integrales de la forma \( \int f(g(x))g'(x) dx \). La clave es identificar una función y su derivada dentro del integrando.
Si la integral es definida, recordamos la regla de cambio de límites:
$$ \int_{a}^{b} f(g(x)) g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du $$
Para la parte b): Integración por Partes
Usada para productos de funciones de distinta naturaleza (ej. algebraica x logarítmica). La fórmula es:
$$ \int u \, dv = u \cdot v – \int v \, du $$
Usamos la regla mnemotécnica LIATE para elegir \(u\) (Logarítmicas > Inversas > Algebraicas > Trigonométricas > Exponenciales).
Solución Detallada
Parte a) Resolución de \( I = \int_{0}^{1} xe^{-x^2} dx \)
La derivada del exponente \( -x^2 \) es \( -2x \). Como tenemos una \( x \) multiplicando, usamos cambio de variable.
Paso 1: Definir la sustitución.
Sea \( u = -x^2 \).
Paso 2: Calcular el diferencial \(du\).
Derivamos \(u\) respecto a \(x\) y despejamos \(x \, dx\):
$$ du = -2x \, dx \quad \Rightarrow \quad -\frac{1}{2} du = x \, dx $$
Paso 3: Cambiar los límites de integración.
- Si \( x = 0 \), entonces \( u = -(0)^2 = 0 \).
- Si \( x = 1 \), entonces \( u = -(1)^2 = -1 \).
Paso 4: Reescribir y resolver.
$$ I = \int_{0}^{-1} e^{u} \cdot \left( -\frac{1}{2} du \right) = -\frac{1}{2} \int_{0}^{-1} e^{u} du $$
Integramos y evaluamos:
$$ I = -\frac{1}{2} \left[ e^u \right]_{0}^{-1} = -\frac{1}{2} \left( e^{-1} – e^{0} \right) $$
$$ I = -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{e} – 1 \right) $$
Parte b) Resolución de \( J = \int x^2 \ln(x) dx \)
Tenemos un producto algebraico (\(x^2\)) y logarítmico (\(\ln(x)\)). Usamos integración por partes.
Paso 1: Elegir variables (LIATE).
Logarítmica (L) va antes que Algebraica (A), así que \(u\) será el logaritmo.
- \( u = \ln(x) \)
- \( dv = x^2 \, dx \)
Paso 2: Derivar e Integrar.
- \( du = \frac{1}{x} \, dx \)
- \( v = \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \)
Paso 3: Aplicar fórmula \( uv – \int v du \).
$$ J = \ln(x) \cdot \frac{x^3}{3} – \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx $$
Paso 4: Simplificar y resolver.
$$ J = \frac{x^3}{3}\ln(x) – \frac{1}{3} \int x^2 \, dx $$
$$ J = \frac{x^3}{3}\ln(x) – \frac{1}{3} \left( \frac{x^3}{3} \right) $$
Errores Comunes a Evitar
- Límites en sustitución: ¡No olvides cambiar los límites de \(0\) a \(1\) por \(0\) a \(-1\)! Si mantienes los originales, el resultado será incorrecto.
- Constante del diferencial: Al despejar \(du = -2x dx\), muchos olvidan pasar el \(-2\) dividiendo como \(-\frac{1}{2}\).
- Elección en Por Partes: Si eliges \(u=x^2\) y \(dv=\ln(x)dx\), te quedarás atascado intentando integrar el logaritmo. Recuerda siempre LIATE.
- La Constante C: En la parte b), al ser integral indefinida, es obligatorio sumar \(+C\) al final.
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